4장 주석

 

   모든 수학들에서 어떤 단계에 이르면 명백해지는 점은, 사실을 의식적으로 알아차리는 일 없이 한 동안 규칙들을 쫓아가고 있었다는 것입니다. 이는 감춰진(covert) 협약을 쓰고 있는 것이라고 말할 수 있습니다. 수학의 향상된 측면으로 인정될 있는 것은, 감춰진 것들을 드러나게 하는, 우리가 하고 있는 일에 대해 알아차리는 바를 촉진시키는 데 있습니다. 수학은 이러한 점에서 사이키델릭(psychedelic) 합니다.

   성취하고자 하는 것의 시작 지점에 우리가 가까이 있을수록, 그곳에서, 주석(comment) 없이 채택되었던 절차들을 발견할 가능성은 더 높아질 것입니다. 그것들을 사용하는 것은 합의의 부재 속 배열의 현존으로 고려될 수 있습니다. 예를 들어, 정리 1의 진술과 증명에서, 배열되는 것은 (합의되지 않았을지라도) 바로 우리가 평면에 쓰는 것이다. 우리가 원환체의 평면에 쓰는 경우 그것은 참이 아니다. (혹, 그것을 참으로 만들려면, 우리는 보다 많은 것들을 분명히 해야 합니다.)  

   사람들이 수세기 동안 쓰기 수단으로 평면을 사용했다는 사실, 이 텍스트의 이 지점에서, 쓰이는 면은 평면이라는 가정에 의심없이 저자와 독자는 모두 속을 준비가 되어 있습니다. 하지만, 여타 가정들과 다르지 않게, 그것은 의심할 여지가 있으며, 우리가 여기서 그것을 의심할 수 있다는 사실은, 우리가 그것은 다른 곳에서도 의심할 수 있다는 뜻입니다. 사실, 우리는, 수학에서, 특히 평면에 (더 일반적으로는, 종수(genus)가 0인 표면에, 우리가 나중에(pp 102 sq) 이보다 더 일반적인  바로 우리가 이제껏 숨죽이고 있었던 또 다른 가정을 알아보게 되는 경우를 겪을지라도), 쓰여진 것 아래 깔려 있는 일반적인 하지만 이제껏 말해지지 않은 가정을 발견했습니다. 게다가, 이제는 명백해진 것으로, 다른 표면이 사용될 경우 그 위에 쓰여진 것은, 동일한 표시라 할지라도, 의미에서는 동일하지 않을 수 있습니다.

   일반적으로, 정리들 사이에는 서열이 있습니다. 그래서 다른 정리들을 빌어 더 쉽게 증명될 수 있는 정리들은 그밖에 정리들이 증명된 이후 증명되도록 미루어집니다. 이 서열은 엄격한 것이 아닙니다. 예를 들어, 정리 3이 증명되고 나서야, 우리는 찾아낸 것을 정리 4를 증명하는 증거로 사용합니다. 그러나 그 순서는 오직 우리가 원하는 절차, 단순한 바에서 복잡한 바로 진행되는가, 아니면, 복잡한 바에서 단순한 바로 진행되는가에 의존하기에, 정리 3과 정리 4를 대칭적입니다. 독자는, 원할 경우, 먼저 정리 3을 빌지 않고 정리 4를 증명할 수 있으며, 그 후 그 텍스트에서 정리 4를 증명했던 방식과 유추 관계에 있는 방식으로 정리 3을 증명할 수 있을 것입니다.

   정리 8을 상징으로 재현한 것은 정리 자체보다는 강하지 않다는 점이 관찰될 것입니다. 그 정리는

                     

와 일치하지만, 우리는 그보다 약한 변형,

                   

을 증명하고 있습니다.

   보다 강한 변형은 분명 참이지만, 우리가 그것을 대수에서 하나의 귀결로 입증할 수 있음을 발견할 것입니다. 그러므로 우리가 증명하고 사용하는 것은 최초 대수 초기로서 보다 약한 변형입니다.

   정리 9에서 우리가 보는 것은, 동사 나누다(divide)의 용법과 동사 쪼개다(cleave)의 용법 사이 차이입니다. 공간의 분할이란 하나의 상태에 대한 또 다른 방식으로 구별할 수 없는  분할들을, 모두 같은 수준에 있는 것들을, 초래하지만, 반면 절단 또는 쪼갬은 구별할 수 있는 상태들을, 서로 상이한 수준들에 있는 것들을, 빚어냅니다.

절단과 분할의 상대적 강도들에 대한 관념은, 수에 대한 규칙은 분할된 공간을 통합하는 것으로 충분하지만 쪼개진 공간을 무효로 하기에는 충분치 않다는 사실에서 끌어낼 수도 있습니다.