부록 1

쉐퍼 공준들에 대한 증명들


 

불 대수들에 대한 쉐퍼의 공준들[3, 439p]은, 널리 알려진 공준들 가운데, 최소한의 집합을 구성하기에, 증명을 위해 선택된다.그것들은, 그가 채택한 제약들 아래서는, 가능한 가장 최소한의 집합은 아니다*.    

   아래 인용된 쉐퍼의 기술은 (비록 당시 그러하다고 증명되지는 않았지만) 실상 완전한 것이며, 그래서 거기에 있는 공준들에 대한 증명들은 불 대수의 모든 기술에 있는 모든 공준들을 증명하는 것을 도울 것이다. 내가 아는 한, 이전에 증명된 바는 없었다.

   그가 가정한 것들은,

  I. A는 K 류다.

 II. A 쌍은 조합 | 에 대한 K-규칙이다.

III. K와 | 는 다음 속성들을 갖는다:

     1. 최소한 두 개의 K-요소들이 있다.

     2. ab가 K-요소들일 때, a|b 는 K-요소다.

            Def.                

     3. a a 의 지시된 조합들이 K-요소들일 때,

                                  .

     4. ab 그리고 ab의 지시된 조합들이 K-요소들일 때,

                                a|(b|b') = a'.  

     5. a, b, c 그리고 a, b,그리고 c 의 지시된 조합들이 K-요소들일 때,

                         .

   우리 목표는 명제들 1-5를 각각 증명하는 것이다.     

 

증명들

   1. 류 K가 최초 구별로 구별된 상태들에 대한 지시들의 집합이라 하자. 최초 명제들이 나오는 그와 같은 두 개의 상태가 있다.

   2. a|b를 로 쓰도록 하자. 두 번째 명제가 분명히 뒤따른다.

    a' 는 로 쓰도록 하자.

                   

 이기에, 쉐퍼의 정의

                      

 가 뒤따른다.

   이제, 각각의 문자 변수가 K-요소들이라면,

   3.             

은                

로 쓰일 수 있고,

  4.                

은                       a|(b|b') = a'

로 쓰일 수 있으며,

  5.

는       

로 쓰일 수 있다.

이것이 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 명제들에 대한 설명들이며, 이로써 증명은 끝난다.

   메모1.  적절성(relevance)의 원리에 따라, 쉐퍼의 표기에서 일획은 생략될 수 있다. 독자한테 남겨진 이에 대한 증명은 그것의 실상에 대한 직접적 이해보다 아마 다소 어렵울 것이다.

   메모2.  쉐퍼는 분명히 이진 영역에서 그의 조작자의 제한을 가정하고 있으며, 또한, 암암리에, 조작 과정에서 변수들이 나타나는 순서의 적절성을 가정하고 있다. 이들 가정들 하나하나는 실상 통상 생각되는 것보다 수학에서 그리 중심적이지 않으며 또한 이 단계에서도 불필요하다. 따라서 쉐퍼는 그의 초기 방정식들을 서로 모순되도록 순진하게 디자인할 수밖에 없었다.  그는 a|b = b|a 를 귀결로 허용함으로써 너무 심하게 무질서해짐이 없이 후자의 가정을 분명 반박할 수 있지만, 앞서 기록된 규칙을 노골적으로 부정하지 않고는 전자의 가정을 반박할 수는 분명 없으며, 비록 사실상 지금 이것이 그와 같이 잘못 고려된 규칙에서 그 연속된 과정이 생겨나는 곤란에서 벗어나는  최선의 방식이라할지라도, 이것은 어리석게 보일 것이다. 이것을 유지함으로써, 쉐퍼의 기술은 연산으로서는 실제 쓸모가 없어진다.

   쉐퍼가 왜 이를 보지 못했는가를 이해하기 위해서, 그의 입장을 그의 작업에 가해진 사회적 강제라는 견지에서 고려하는 특이한 과정을 취하도록 하자.   

   수학에서, 그리고 다른 분과들에서 위대한 발견들은, 일단 그것들이 발견되면, 지극히 단순하고 명백해 보이며, 전에 그것들을 발견하지 못했던 바에 대해, 그것들의 발견자들까지를 포함하여, 모든 사람들을 어리석게 보이도록 만들어 버린다. 세상(world)*에 대한 이전 발생 기원에 대한 고대 상징은 바보(fool)라는 것, 그리고 어리석음, 인간을 초월한 상태에 있는 것은  부끄러워하거나 자랑할 상태가 아니라는 것은, 너무도 자주 망각된다.

   불행히도 우리는 평이한 진실과는 너무도 동떨어진 오늘날 교육 시스템들을 발견한다. 그것들은 이제 우리한테 우리가 아는 것을 자랑하도록 그리고 무지를 부끄러워하도록 가르침니다. 이것은 겹겹이 타락한 것입니다. 자랑은 그 자체로 치명적 범죄일 뿐만 아니라, 지식을 자랑하도록 가르치는 것은 이미 알고 있는 것으로 향하는 것을 가로막는 효과적인 장벽을 치는 것이기에 탁락한 것입니다. 자랑은 사람을 자신의 무지로 지게된 속박들 너머를 바라보는 것을 부끄럽게 만들기에, 그것은 효과적인 장벽이 됩니다.

   존중하는 마음으로 그의 위대하고 보편적인 무지의 영역에 진입할 준비가 된 사람한테, 존재의 비밀들은 결국 밝혀질 것이며, 그것들의 드러남을 존중하는 자연스런 그리고 심어진 부끄러움에서 벗어남에 따라 어느 정도는 그렇게 될 것이다.

   그것을 거스르는 강력한, 그리고 정말 격렬한 사회적 압력들에 직면하여, 온전한 정신을 향한 이러한 간단하고 확실한 코스를 받아들일 준비가 되어 있는 사람들은 거의 없다. 그리고 탁월한 심리치료사들이, 기회가 주어진다면, 뉴튼을 전기 충격 요법으로 치료하리라고 광고할 수 있는 사회에서, 받아들이길 저어하는 사람을 그렇다고 하여 누가 비난할 수 있겠는가?

   뉴튼이 알았고 실행했던 것처럼, 가장 간단한 진리에 도달하기 위해서 필요한 것은 수년간의 명상 또는 정관이다. 활동이 아니다. 추리나 추론이 아니다. 계산이 아니다. 그 어떤 바쁜 행동이 아니다. 읽는 것이 아니다. 말하는 것이 아니다. 노력하는 것이 아니다. 생각하는 것이 아니다. 그것이 무엇인가를 간단히 마음에 품을려면, 아는 것은 필요하다. 그리고 사람들이 참된 발견에 이르는 이러한 길을 밟을 용기를 지닌 이들이 그리하는 방식에 관한 실질적으로 그 어떤 안내도  제공받지 않았음에도, 그들은 낙담한 채 비밀리에 그것에 착수할 수밖에 없다. 그러면서, 광란의 전환들에 성실하게 관여하는 척, 그리고 자신들한테 지속적으로 믿을을 주는 개별 의견들을 묵살하는 것에 동조하는 척 한다.

   이러한 여건들에서, 어떤 사람이 해낼 수 있는 발견들은, 그가 유발된 정신질환에 직면해서 비뜰거리지만 조력없이 노력하여 온전한 정신으로 되돌아가는 곳들을 나타낼 수 있다. 고통스럽고 위험하기까지 하겠지만, 가능할 것이다. 그러나 되돌아갔음에도, 사람들의 이목을 피할 것이다.

   우리가 이와 관련하여 주목할 수 있는 것은, 쉐퍼보다 30년이나 앞서, 명제 논리는 하나의 상수로 처리될 수 있음을 발견했던 퍼스[13]가, 그 중요성이 그한테는 틀림없이 명백한 것이었지만, 이러한 발견을 출판하지 않았다는 것이다; 이러한 사실을 쉐퍼보다 2년 앞서 독자적으로 발견하고 출판했던 쉬탐은, 그의 논문에서, 그의 주장을 의심없이 제기할 단순하고 분명한 방식으로 대체하는 것을 생략했다는 것이다; 그리고 그 논문에 기록된 주요한 발견은 쉬탐의 논문을 무시했던 쉐퍼[3]가 발견한 것으로 일반적으로 알려져 있다.            

 

 

 

 

 

 * 예를 들면, 쉐퍼의 세 개의 초기 방정식들은 두 개의 초기, a'|(b'|b) = a 와 ((c'|a)|(b'|a))' = a|(b|c) 에서 얻어질 수 있습니다.

 * wer = man, ald = age, old. 세계는, 모든 것들에 대한 분명한 속성들로, 사람이 손을 가진 최초의 동물이라는 사실을 통해 명백해지는 사람의 나이와 동일한 것으로, 여겨질 수 있다(분명한(manifest)은 manus = hand, festus = struck에서 유래된 것이다). 따라서, 세계는 분명하지 않은 것들까지 포함하는 모든 것들보다는 아주 작지만, 우주보다(더 정확히, 어떤 우주보다)는 훨씬 더 크다. 그 우주란 그저 세계를 구성하는 가능한 현시(manifestation)들 가운데 하나(one)형식적 현상(formal appearance)에 불과하다.

17  E Stamm, Monatschefte fur Matheematik und Physik, 22 (1911) 137-40.