8.
두 수준들을 다시 통합하기 (Re-Uniting The Two Orders)
내용, 이미지, 그리고 반사(content, image, and reflexion)
어떤 식 e 에 대해, e 를 내용이라 부르고, 
를 이미지라 부르고, 
를 반사라 부릅니다.
이기에, 반사는 이미지에서 그것의 내용으로, 또는 내용에서 그것의 이미지로 되돌리는 작용입니다.
e 를 가로지르기 하나라고 가정합시다. e 의 내용은 e 가 있는 공간의 내용이지, 그 공간을 표시한 그 가로지르기의 내용은 아닙니다.
일반적으로, 내용은 우리가 그것을 표시했던 지점이며, 표시는 그것의 형식을 형성하는 경계 안쪽에 있지 않고 그것을 둘러싸거나 또 다른 형식을 형성하는 경계 안쪽에 있습니다. 따라서, 형식을 기술하는 데 있어서, 우리는 다음과 같은 연속(succession),
을 발견합니다.
나타내는 공간(indicative space)
s0 가 e 를 적시는 공간일 경우, e 의 값은 s0 에 대한 e 의 값이다. e 가 s0 에 있는 전체 식일 경우, s0 는 e 의 가치를 취득하고, s0 를, 우리는 e 를 나타내는 공간이라 부를 수 있습니다.
e 의 값을 구하는 데 있어, 우리는 e 와 함께 s0 에 있는 우리 자신을, 고로, s-1 에 대한 경계인 쓰여지지 않은 가로지르기로 둘러싸인 우리 자신을 상상합니다.
일곱 번째 규준. 적절성의 원리(Principle of relevance)
어떤 속성이 모든 지시에 공통된 것일 경우, 그것은 지시할 필요가 없다.
쓰여지지 않은 가로지르기는 지시 연산의 모든 식에 공통적인 것이며, 그렇기에 쓰여질 필요가 없습니다. 비슷하게, 열성(recessive) 값은 지시 연산의 모든 식에 공통적인 것이며, 마찬가지로 이러한 원리로, 그 곳에서 지시자(indicator)는 필요치 않습니다.
어떤 연산 형식에서든, 우리는 그 형식의 내용에서 귀결들을, 그 형식의 이미지에서 정리들을 발견합니다.
그래서,
는 일차 산술에서 귀결이며, 그러므로, 일차 산술의 내용에서 귀결입니다.
입증
귀결을 받아들일 수 있는 것은, 우리가 해당 규칙들을 결정했기 때문입니다. 오로지 우리는 귀결이 규칙들을 통해 나온다는 것만 보여주면 됩니다.
그러나 일차 산술의 내용에서 가장 단순한 귀결들을 제외한 나머지 것들의 입증들은 반복적이고 지리한 것들로, 우리는 정리들을 써서 그 절차를 단축시킬 수 있습니다: 그 정리들은 일차 산술에 관한 또는 일차 산술을 본뜬(in the image of) 것들입니다. 예를 들어, 윗 귀결을 입증하는 대신, 우리는 T2를 쓸 수 있습니다.
T2가 진술하고 있는 것은, 나열됨이 없이 기술되는, 윗 식이 그 사례로서 받아들여질 수 있는, 류의 모든 식들은 표시된 상태를 지시하고 있다는 점입니다. T2의 증명은, T2가 기술하는 류의 모든 식들을 동시에 단순화시킨 입증으로 간주될 수 있습니다.
하지만 정리 그 자체가 귀결은 아닙니다. 그것의 증명은 산술 규칙들에 따라 진행되지 않고, 대신, 이 단계에서, 어떤 정당화도 없었던, 나열 판단과 추리하기(reasoning and counting)의 관념과 규칙들을 거쳐 진행됩니다.
따라서 어떤 사람이 증명을 인정하지 않을 경우, 다른 증명을 시도하는 것 말고 할 수 있는 일은 없습니다. 정리는 그 진술된 바가 명백하기에 인정되지만, 우리는 통상, 그 명백함이 여하튼 명백해질 필요가 없는 경우, 그것을 기록 가치가 있는 것으로 여기지는 않습니다. 추가된 안내 없이도 명백한 것으로 보일 수 있는 공리의 경우에는 이러한 규칙에서 제외됩니다. 공리와 정리들 모두 우리가 머물기 위해 선택했던 지반 또는 토대에 관한 다소 간단한 진술들입니다.
대수에서 초기 단계들은 산술 관련 정리들을 나타내기 위해 취해진 것들이기에, 우리가 변수들이 포함된 방정식을 대수에서 귀결을 표현한 것으로 보느냐 아니면 산술 관련 정리를 표현한 것으로 보느냐는 우리의 관점에 달려 있습니다. 입증가능한 귀결은 어떤 것이든, 또 한편, 정리로서 증명할 수 있는 것이며, 이러한 사실은 순차적 단계들이 발견되기 어려운 곳에서 쓰일 수 있습니다. 그래서, 우리는 방정식,
을 대수에서 입증하는 대신, 산술로 증명할 수 있습니다.
우선,
라 하고,
라 합시다.
우선, 
라 합시다. 그러면,
그리고
그래서, 이 경우, x = y T7
이번에는, 
라 합시다. 그러면,
그리고
그래서, 이 경우, x = y T7.
그밖에 다른 경우는 없다 T1.
그러므로, x = y.
대수에서 귀결들은, 그것들의 기원에 근거하여, 산술적으로 타당하며, 그래서 우리는 그것들을 증명을 간략히 하고 싶을 때 쓸 수 있습니다.
요약된 증명
라 하면,
그리고
그래서, 이 경우, x = y T7.
라 하면
그리고
그래서, 이 경우, x = y T7.
그밖에 다른 경우는 없다 T1.
그러므로, x = y.
이들 증명들에서 분명히 가정했던 것은, 우리가 산술적으로 고정시킨 변수를 제외한 그밖에 변수들이 증명과는 무관하다는 점입니다. 그밖에 변수들의 가능한 값들을 우리가 무시할 수 있다는 점이 처음부터 빤히 보일 수는 없지만, 다음 증명에서 보여주는 바와 같이, 그 가정은 실상 모든 사례들에서(그리고, 실로, 모든 대수들에서) 정당화되고 있습니다.
정리 16 걸치기(The bridge)
식들이 한 변수에 대한 모든 경우들에서 등가일 경우, 그 식들은 등가다.
공간 sq 에서 변수 v 가 그 값 m, n 의 한계들 사이에서 진동하도록 합니다.
sq 에서 그밖에 모든 지시자들의 값이 n 일 경우, v 의 진동은 sq 를 통해 전송(傳送)될 것이며, sq-1 쪽 sq 의 경계 값의 변이로 보일 것입니다.
이러한 조건에서 sq 는 투명하다고 부른다.
sq 에서 그밖에 모든 지시자들의 값이 m 일 경우, sq 를 통해 전송될 것은 없습니다.
이러한 조건에서 sq 는 불투명하다고 부른다.
v 에서부터 전송은 sq 에서 투명과 불투명 사이 변하는 과정이며, 또한 이러한 변화 과정이 검출될 수 있는 더 먼 공간에서 투명과 불투명 사이 변하는 과정입니다. 그 전송은 그것이 통과하는 공간에 있는 그밖에 변수들에서 나온 전송에, 어떤 지점에서든, 흡수될 수 있습니다. 이러한 흡수가 전체적일 경우, 이것이 야기되는 공간 대역(帶域)은 불투명하다고 부릅니다. 그밖의 경우는 투명하다고 부릅니다.
이들 정의와 숙고들로부터 우리는 다음 원리를 알 수 있습니다.
여덟 번째 정리 전송 원리(Principle of transmission)
변수 값의 진동과 관련하여, 그 변수 바깥 쪽 공간은 투명하거나 불투명하다.
정리 16의 증명
s, t 를, 각각 e, f 를 나타내는 공간들이라 합시다.
e, f 가운데 하나에 변수 v 가 포함되도록 하고, v 는 그 값 m, n 사이에서 진동하도록 합시다.
e, f 모두 v 에서부터 전송이 불투명한 조건을 고려합시다. e 와 f 가 v 값이 변한 후에도 등가일 경우, 그것들은 그 이전부터 등가였습니다.
따라서 이 조건에서는 e = f .
e, f 가운데 하나가 투명한 조건을 고려합시다.
v 의 진동이 나타내는 공간 하나로는 전송되지만 다른 하나로는 전송되지 않는다고 가정합시다. 그러면, v 의 적절한 값을 선택해서, e 를 f 와 등가가 아니도록 만들 수 있고, 이는 가설과 상반됩니다. 따라서 e, f 가운데 하나가 투명할 경우, 둘 모두 투명합니다.
따라서 v 값에 일어나는 어떤 변화든 s 와 t 에 전송됩니다.
그러므로, e 와 f 가 v 값이 변한 후에도 등가일 경우, 그것들은 그 이전부터 등가였습니다.
따라서 이 조건에서는 e = f .
그러나, 전송 원리에 따라, 그밖에 조건들은 없습니다.
그러므로, 어떤 조건에서든, 따라서 어떤 경우에서든, e = f .
이로써 증명을 마칩니다.
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