7.
이차 정리들(Theorems of The Second Order)
정리 10
J2의 활용 범위는 공간 Sn+2의 유한 분할들까지 연장된다.
어떤 경우든,
.
증명
Sn+2이 각각 0, 1, 2 그리고 2 이상의 분할들로 나누어지는 경우들을 고려합니다. 0인 경우,
1인 경우,
2인 경우,
2 이상인 경우,
(필요한 만큼)
(필요한 만큼)
(필요했던 만큼)
이로써 증명을 마칩니다.
정리 11
C8 의 활용 범위는 정리10 (T10) 에서 처럼 연장될 수 있다.
정리 12
C9 의 활용 범위는 T10 에서 처럼 연장될 수 있다.
T11 과 T12 의 증명들은 C8 과 C9 의 증명에서 J2 대신 T10 을 써서 똑같은 과정을 거치면 증명됩니다.
정리 13
C2 에서 생성 과정은 생성된 변수가 최초 나타난 곳보다 더 얕지 않은 공간으로는 얼마든 연장될 수 있다.
증명
기원 변수가 있는 공간과 같은 깊이의 공간 0, 하나 더 깊은 공간 1, 그리고 1보다 더 깊은 공간에서 변수가 생성되는 경우들을 고려합시다. 0인 경우,
1인 경우,
1 이상인 경우,
기타 등등. 분명히, g 를 추가적으로 생성하기 위해 추가로 고려해야 할 사항은 전혀 없습니다. 그리고 g 가 있는 곳보다 얕지 않은 공간이면 어디까지든 뻗어갈 수 있다는 것 또한 명백합니다.
이들 정리들은 J2, C2, C8, C9를 각각 연장시킨 것들로 간주하며, 초기 또는 귀결의 이름이 초기나 귀결을 연장시킨 정리 또한 가리키도록 하면 편리합니다.
정리 14 상수 관련 규준
주어진 식에서, 등가의 식은, 가로지르기가 2 이하인 깊이를 갖도록, 유도될 수 있다.
증명
주어진 식 e 는 깊이 d 인 가장 깊은 i 개의 공간들을 갖는다고, 이때, d > 2 라고, 가정합시다.
C7 의 깊이-줄이기 절차를 이행합니다. 가능한 것들에 대한 조사가 보여주는 것은, 최대 2i - 1 의 단계들을 밟아야, e1 이 깊이 d - 1 인 가장 깊은 j 개의 공간들을 갖도록 하는, e = e1 을 발견한다는 점입니다. (단계들을 최대수로 밟아야 할 경우란, e 에서 sd-2 의 부분이 sd 를 포함하는 유일한 부분이며 sd 의 각 분할이 sd-1 의 개별 분할에 포함되는 때입니다.)
(d - 1) > 2 일 경우, 우리는 많아야 2j - 1 의 추가 단계들의 절차를 지속해, e2 가 오직 d - 1 개의 가로지르기 깊이를 갖도록 하는, e1 = e2 를 발견합니다. 그 절차는, ed-2 가 오직 d - (d - 2) = 2 개의 가로지르기 깊이만을 갖도록 하는, e = ed-2 를 우리가 발견할 때까지 계속될 수 있습니다. 우리가 이를 알기에, 이로써 증명을 마칩니다.
정리 15 변수 관련 규준
주어진 식에서, 등가의 식은, 어떤 주어진 변수에 대해 많아야 2 개의 현상들만을 포함하도록, 유도될 수 있다.
증명
최초 식 e 에 변수가 포함되어 있지 않은 경우 증명은 시시합니다. 그래서 e 에 변수가 포함된 경우를 고려할 것입니다. 이제 C1과 T14에 따라,
이고,
여기서, a, b, ..., p, q, ..., x, y, ..., 그리고 f 는 식 e에 적절한, 또는 적합한 배열들을 상징하는 것들입니다. 그래서,
(각각 필요한 만큼)
라 하면, 
이로써, 증명을 마칩니다.
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