사띠 & 호띠 시작과 끝에서 보며 본 것을 제자리에 두기

6.

일차 대수(The Primary Algebra)

초기 1. 자리잡기(Position)        

                                                집어내기(take out)

                                                집어넣기(put in)

 초기 2. 자리바꾸기(Transposition)  

                                                        모으기(collect)

                                                     분배하기(distribute)

   우리는, 이들 초기들에 대한 순차적 조작들로 발견될 수 있는, 귀결(consequence)들이라 불리는, 구체적 패턴들을 구별해낼 것이다.  

귀결 1. 반사(Reflexion)

                                                       반사(reflect)

                                                       반사(reflect)

입증

   우선, J1 에 따라, 

를 발견한다. R2를 써서, p로 나타난 모든 것들을   라는 현상으로 바꿈으로써           는           로 전환시킬 수 있다. 이어, R1을 써서,         로 나타난 현상은  최초 식    를 적시고 있는 공간에  라는 현상으로 바꿀 수 있다. 그래서   이 발견되는 것이다.

   다음, J2에 따라,  

를 발견한다.  (2장에 있는)  =  에 대한 정의로 허용된 권한을 써서,  를    로 바꾼다. 이어 (2장에 있는) 관계에 대한 정의로 허용된 권한을 써서, 다시    로 바꾼다. 이때, R2를 써서, 이 방정식에서 p로 나타난 모든 현상을  현상  로 바꾼다. 그래서 이 발견된다. 재차, R2를 써서, q로 나타난 모든 현상은 a로 바꾸고, 또 다시 R2를 써서, r로 나타난 모든 현상을   로 바꾼다. 그래서  이 발견되는 것이다.

   그때, J1에 따라,

를 발견한다. 우리는 최초 방정식에 걸맞는       를 발견했고, 이제 오직 R1만을 써서  를 적시는 공간에 있는  현상을   에 있는 현상으로 바꾸어   를 발견하게 된다.

   그때, J1에 따라, 

를 발견한다. R2를 써서, 모든 p를 a로 바꿈으로써        는       로 전환되고,

이때 R1을 써서  를 적시는 공간에 있는   는           로 바뀐다. 그래서  를 발견한다.

   그때, J2에 따라, 

를 발견한다.  이는, R2를 써서, 모든 p는   로, 모든 q는   로, 모든 r은 a로 바꿈으로써 그리 된다.

   그리고 마지막으로, 

를 발견한다. 이는, R2를 써서, 모든 p는   로 바꿈으로써       이 되고, 이어 을, R1를 써서, a 를 적시는 공간에 있는        로 바꿈으로써, 그리 된다.

   이것으로 여섯 단계에 대한 상세한 설명을 마친다. 우리는 이제, T7을 다섯 번 써서,  

를 발견할 수 있으며, 이것으로 입증을 완료한다.

    우리는 이러한 입증을 그 절차에 대한 핵심 색인들만으로  반복하면 다음과 같다.

귀결 2. 발생(Generation)

                                                     퇴화(degenerate)

                                                     재생(regenerate)

입증

귀결 3. 통합(Integration)

                                                         축소(reduce)

                                              확대(augment)

입증

귀결 4. 은폐(Occultation)

                                                   숨기기(conceal)

                                                   드러내기(reveal)

입증

귀결 5. 반복(Iteration)

                                                  반복(iterate)            

                                                재반복(reiterate)

입증

귀결 6. 연장(Extention)

                                                    단축(contract)

                                                    확장(expand)

입증     

귀결 7. 계층(Echelon)

                                                               파괴(break)  

                                                              형성(make)

입증

귀결 8. 수정된 자리바꾸기(Modified transposition)

                                                                모으기(collect)   

                                                               분배하기(distribute)

입증

귀결 9. 교차-자리바꾸기(Crosstransposition)

                                                               교차-자리바꾸기(모으기)

                                                    교차-자리바꾸기(분배하기)  

 입증

귀결들의 분류

   이들 귀결들을 분류하는 데 반드시 앞에 기록된 형식들에 한정지을 필요는 없다. 귀결의 이름은      

                             통합(Integration)

에서처럼, 해당 귀결의 일부를 지시할 수도 있다.

다른 경우, 귀결의 이름은 

       자리바꾸기 또는 계층

그리고

                연장

에서처럼, 반사들을 포함할 수도 있다.

또 다른 경우, 귀결의 이름은 

                 연장

에서처럼, 교차-자리바꾸기를 지시할 수도 있다.

또한, 앞서 경우에서 보이는 것처럼, 귀결의 부류들은 적절히 구별되지 않는다. 우리가 하고 있는 일은 하나의 지시로 더욱더 많은 수의 단계들을 지시하는 것이다. 이는 언급의 수축, 특히 그 내용의 확장이라는 이중 형식이다. 우리는 많은 단계들을 하나의 단계로 취함으로써 계산의 노고를 줄인다.

   그래서, 단계들의 등가를 고려할 경우, 우리는

를 발견한다.

또한, 한 단계를 거슬러 오르는 것은 그 단계를 취하지 않은 것으로 간주될 수 있기에, 우리는

를 발견한다.

그러나, 이제, 단계들에 대한 지시에서 단계들을 허용하는 경우, 우리는 결과되는 연산이 일관성이 없음을 발견한다. 

   그래서, 우리가 어떤 단계를 먼저 취하느냐에 따라,

일 수도 있고

일 수도 있다.

   그러므로,

인데, 이는 우리가, 어떤 계산에서든, 단계를 전혀 밟지 않은 제로 상태를 포함해서, 아무리 많은 단계들이라도, 하나의 단계로 간주하고 있음을 암시한다.

   이는, 단계의 본성은, 앞서 우리가 결정지었던 대로, 경계를 가로지를 의도를 갖지 않는다고 했던 우리의 생각과 일치한다.

식들에 대한 진전된 분류

   지시 연산에 대한 대수적 고려는 식들 사이 더 진전된 구별을 야기한다.

   표시된 상태에 대한 식들은 완전(integral)이라 불릴 수 있다. 문자 m은, 달리 쓰이지 않는 한, 완전한 식을 지시하고 있는 것으로 취해질 수 있다.

   비표시된 상태에 대한 식들은 불완전(disintegral)이라 불릴 수 있다. 문자 n은, 달리 쓰이지 않는 한, 불완전한 식을 지시하고 있는 것으로 취해질 수 있다.

   미지(未知)의 지시자들을 갖는 상태들에서 귀결된 하나의 상태에 대한 식들은 귀결적이라 부릴 수 있다. 문자 v는, 달리 쓰이지 않는 한, 귀결적 식을 지시하고 있는 것으로 취해질 수 있다.