사띠 & 호띠 시작과 끝에서 보며 본 것을 제자리에 두기

11.

이차 방정식들 (Equations of The Second Degree)

이제까지 우리는  산술에서든 대수에서든 주어진 표현은 유한한 것일 것을 요구하는 규칙(정리1)을 따랐다. 그렇지 않았다면, 지금까지 선언된 규준들로는 그 표현의 값을 찾을 방법이 없었을 것이다.

   그래서, 주어진 표현은 유한 번의 단계들을 거쳐 또 다른 등가 표현에 이를 수 있다. 우리는 이러한 원리를 입증 과정을 특징짓는 규칙으로 추출하는 것이 편리하다는 것을 알 것이다.

아홉 번째 규준. 입증 규칙

   입증은 유한한 단계들을 거쳐 멈춘다.   

   이러한 규칙이 지켜지고 있는 바를 보는 한 방식은 단계들을 세는 것이다. 그 규칙이 적용되는 바를 주어진 특정 고려 수준에 국한할 필요는 없다. 대수 표현에서, 각각의 변수는 가로지르기들에 대한 알 수 없는 (또는 비물질적) 수를 나타내고 있다. 그렇기에, 이러한 경우 산술 단계들을 세는 것은 가능하지 않다. 그러나 우리는 대수 단계들은 변함없이 셀 수 있다. 

   단계의 본성에 관한 6장의 관찰에 따라, 여러번 센 것들이 불일치하더라도 적어도 한 번 센 것이 유한한 한 문제되지 않다.

표현   을 고려하자.

이제 단계-배열을 갖는 다음 형식을 생성시킬 것을 제안한다. 

등등. 배열을 계속해서 이어갈 가능성을 제한하는 것은 없으며, 따라서 와 등가일 수 있는 a 와 b가 번갈아들며 계층을 이룬 표현의 크기에 한계가 있을 수 없다.

할 수 있다면, 단계-배열을 시작하는 명령은 결코 철회될 수 없고, 그래서 그 과정이 영원히 계속되는 경우를 상상해보자. 이러한 상상으로 공간에 우리가 갖는 것은 한계없이 계층을 이룬 다음과 같은 형식이다.

   이제, 이러한 형식은, 끝이 없기에, 에서 유한 번의 단계들로는 도달할 수 없는 것이므로, 우리는 이것이, 필히,  와 같은 값을 표현할 것이라 기대할 수 없다. 그러나 우리는, 가능성들에 대한 철저한 검토를 거쳐, a, b의 다양한 경우들에서 그것이 취하는 어떤 값들을 확인할 수 있으며, 그것들을 유한 표현의 값들과 비교할 수 있다.

 재-진입 

   열쇠는 각각의 모든 깊이에서 표현의 가로질러진 일부를 전체 표현과 동일한 것으로 보는 것이다. 따라서, 그것은 어떤 깊이에서든 그 자신의 내부 공간에 재-진입한 것으로 간주될 수 있다. 그래서, 

이제, 우성 규칙에 따라 a, b의 각각의 가능한 경우에서 f 가 취할 수 있는 값들을 발견할 수 있다.

마지막 경우, f = m 이라고 하면, 

이기에, E1를 만족시킨다. 이제 f = n 이라고 하면,

 이기에, 또한 E1를 만족시킨다. 따라서 이 경우 방정식은 두 개의 해를 갖는다.

   이때, 주어진 표현 e 에서 무한번의 단계들을 거쳐 e 와 동등하지 않은 표현 e´ 에 다다를 수 있다.

   그와 같은 경우, e´ 에 대한 산술 값은 a, b 의 모든 가능한 경우들에서 유일하게 결정되지 않기에, 재현에 대한 정리들은 더 이상 유지될 수 없다.

불확정성

   그래서 우리는 e´ 에 각각의 독립 변수들의 값을 고정시켜서는 결코 확정되지 않는 e´ 의 값과 관련하여 불확정성의 정도를 도입했다. (이러한 도입은 e´ 가  그저 독립 변수들을 사용한다는 이유만으로 불확정성의 경우로 도입되었던 것과 같다.) 그러나, 각각의 표현이 보여주는 불확정성의 정도가 같기만 하다면, 그와 같은 표현을 또 다른 표현과 같다고 여기지 못할 까닭은 없습니다. 

차수(정도)

   우리는 그와 같은 표현들이 등가 상태인 방정식을 분류하기 위해 이러한 불확정성에 대한 분명한 차수(정도)를 취할 수 있다.

   J1과 J2가 그 차수가 어떠하든지 모든 방정식들에 대해 유효하다는 것은 명백하다. 따라서, 차수>1 의 방정식을 검증하기 위해 (6장에 요약된) 입증 절차들을 사용하는 것이 가능하다. 하지만, 그와 같은 방정식의 입증을 확인하기 위해 산술에 의지하는 (8장에 요약된) 절차의 사용은 불가하다. 그 까닭은, 그것을 산출하기 위해 이행된 무한으로 탈주는 우리가 형식에 머물던 바로서 완전한 지식에 대한 이전 접근을 우리한테 허용하지 않기 때문이다. 따라서, 이탈하기 전에 입증 규칙을 추출하는 것이 필수적이었다. 하여, 이것은 이제, 우성 규칙과 함께, 우리가 변함없이 우리 방식을 찾을 수 있는 길잡이 즉 안내 원리가 된다.

허수 상태

   산술과 연결 상실은 다음 보기로 설명된다.  

라 하자. 분명히, E2, E3 각각은 산술에서 어느 쪽 f 든 똑같은 무한 표현과 같은 것으로 여김으로써 나타내어질 수 있다; 따라서

그러나 또한 분명한 것으로, E2는 서로 모순 없이 자신을 만족시키고 있는 산술 해들,  또는       를 허용하는 반면, E3는 이들 해들 가운데 어떤 것으로도 만족되지 않으며, 그 때문에, E2와 같은 값을 표현할 수 없다. 그리고  와       는 지금까지 마음 속에 그렸던 형식의 상태들만을 나타내기에, E3가 해를 갖는 것처럼 보이고 싶다면, 우리는 그것이, 지금까지는 상상하지 못했던, 형식에 대한 허수(상상) 상태를 나타내는 해를 갖도록 허용해야 한다.

시간

   우리가 회피할 수 있을지라도 그 형식을 떠나고 싶지 않기에, 우리가 마음 속에 그리는 상태는 공간에 있지 않고 시간에 있다. (앞서 머물고 있던 공간 상태를 떠나지 않고 시간 상태로 진입하는 것이 가능하다.)

   이것을 상상하는 한 방식은 값 변화의 자신이 재현되는 공간을 통한 전송에는 거리를 감당하려면 시간이 걸린다고 가정하는 것이다. 평면에 가로지르기 하나, 

 를 고려하자. 표시된 상태의 지시는 그늘로 보여진다.

   이제, 표면 아래 터널로 인해 파괴되어 표면으로 나타난 가로지르기로 그려진 구별을 가정하자. 그림 1에서 우리는 t₁, t₂ , ... 간격들에서 그와 같은 파괴의 결과들을 본다.

주파수

   값의 재현이 표현 공간을 일정하게 관통하는 속력을 고려할 경우, 그때 진동 주파수는 터널의 길이에 따라 결정됩니다. 또 달리, 이러한 길이가 일정하다고 할 경우, 그때 진동 주파수는 공간을 통한 진동의 전송의 속력에 따라 결정됩니다.

속도

   값의 지시의 전송에 일단 속력을 부여하면, 우리는 또한 속력에 방향을 부여해야 한다. 그래서 속력은 속도가 된다. 헌데, 그렇게 하지 않을 경우, (이를테면) t₄ 로 나타났고 이어 계속해서 t₅ 에서 보여졌던 재현 대신 t₃ 에서 보여진 재현을 향해 나아가는 전파 행위를 멈추게 할 것은 없을 것이다.       

                                       그림 1

함수

   우리는  변수 v 를 포함하는 표현을 달리 v 에 대한 함수라고 부를 것이다. 따라서, 우리가 그것들을 간주하는 관점에 따라 값에 대한 표현들로, 또는 변수들에 대한 함수들로 본다. 

진동 함수

   그림 1의 점 P에서 값의 지시들을 고려하면, 곧이어 우리가 갖는 것은 부여된 주파수의 일련의 사각 파형들입니다. 

                  ....  지시된 표시 상태

                  ....  지시된 비표시 상태

   이제 그림 1의 점 P의 관련된 모든 속성들이 연속된 두 공간들에 나타나는 표현으로 배열하자. 그러면,

   각 공간에 비슷하게 훼손된 구별들을 배열함으로써, 전송 속력이 전체에 걸쳐 일정하다고 가정함으로써, 우리는 이 일을 할 수 있다. 이러한 경우, 외부 공간에 사각 파형 두 개를 포개는 것은 (그것들 가운데 하나는 가로지르기로 뒤집혀졌다) 그곳 표시 상태의 연속적 재현이 될 것이다.

실수 값과 허수 값

   공간에 확정되지 않은 채 점(또는 변수) P에(또는 로) 재현된 값은 형식과 관련하여 허수(상상)이라 불릴 수 있다. 그럼에도, 우리가 위에서 본 바와 같이, 그것은 시간과 관련해서는 실수(실재)이며, 자체와 관련해서 공간에서 확정되고, 그래서 형식에서 실재가 된다.    

   우리는 지금까지 E3의 도식적 재현을 고려했다. 이제, E1을 고려하고 비슷한 선상에서 E1의 제한하기 경우인 E2를 고려할 것이다.

                                        그림 2

기억 함수

   E1에서 함수 f 의 현재 값은 자신의 과거 값에 의존하고, 그렇기에 a와 b의 과거 값들에 의존한다. 사실상, a와 b 모두 비표시 상태를 지시하고 있을 때, 함수 f 는 그것들 가운데 어떤 것이 지난 번에 표시 상태를 지시했는가를 기억한다. 만약 a 일 경우, f = m. 만약 b 일 경우, f = n.

전복

   그림 2에 도해된 설정을 정확히 E1에서 f 처럼 행동하도록 만드는 방식은, 터널을 통한 유효한 전송이 오로지 외부에서 내부로만 행해지도록 조치하는 것이다. 우리는 그와 같은 상수들의 구별 속성들의 부분적 파괴를 전복이라 부를 것이다.

   주목할 것으로, 우리가 f 의 기억 속성들을 이용하고 싶을 경우 (이때 f 는 균등하게 전복된 함수다), 기억 속성이 없는 표현의 경우 허용될 수 있는 형식 변환은 피해야 한다. 이를테면, 우리는  

 를 허용할 수는 있지만,

 는 피해야 하는데, 그것은 후자의 변환이, c 로 표시된 상태의 지시가  기억이 소멸된 표현에 신뢰할 정도로 억기될 수 있는 그러한 표현에서 온 것이기 때문이다.

유한 표현들에서 시간

   우리 숙고들에 시간을 도입한 것은 임의적 선택이 아니라 더 나아간 탐구를 위한 필수적 측도로서 그러한 것이다.

   채택된 측도의 필요성의 정도는 그것이 응용되는 정도에 해당된다.  우리가 여기 도입했던 바와 같은 시간 측도는,  지금까지 고려한 모든 재현 형식들을, 모순없이, 감당하는 것으로 볼 수 있다. 

   이는 E1을 다시 고찰함으로써 해명될 수 있다. 여기서, 우리는  시간 개념이 그림 2의 단축형에서처럼 f 의 확장형에서도 같은 답에 이르는지 (즉, 시간 개념이 a, b 의 우성 상태들에 대한 같은 기억들에 이르는지) 알아봄으로써 시간 개념의 쓸모를 검사할 수 있다. 설명을 위해, 우리는 우선 유한 표현을 고려할 것이다.

   그림 3에서 보듯이, 그와 같은 유한 표현은 하나의 조건에서 안정된 것이며, 다른 것에 대한, 그것의 연장 정도에 비례한 지속에 대한 유한 기억을 갖는다. 계층의 끝없는 연장은 어떤 조건에 대한 끝없는 기억을 허용하며, 그래서 시간 개념은 E1에서 f 의 단축된 또는 확장된 형식들이 서로를 인증하도록 하는 핵심이 된다는 것은 명백하다.

                                       그림 3

    특별히 흥미로운 조건이 창발하는 것은, a 에서 우성 맥동이 충분히 짧은 지속을 갖는 경우다. 이러한 조건에서, 그 표현은 유한한 길이의 일련의 파열(波列)을, 그림 4에 도해된 것처럼, 방출한다.

                                         그림 4

   파열(波列)의 지속, 그 성분들의 주파수, 등등은 표현을 방출했던 그것의 본성과 범위에 달려 있다. 무한 연장된 표현에서 잠재적으로는 끝없이 방출되며, 여기서 재차, 시간과 관련하여 E1을 표현하는 두 가지 (단축 또는 확장) 방식은 같은 답을 주고 있다. 시간이라는 열쇠가 없다면, 오로지 단축된 표현만 이치에 맞을 것이다. 

가로지르기와 표지들

   E1에서 표현이 더 큰 표현의 일부를 나타내고 있는 경우를 고려하자. 이제, 재삽입이 일어나는 곳을 지시하는 것 뿐만 아니라, 삽입된 표현의 일부를 가리키는 것 또한 필수적인 일이 된다. 전체는 더 이상 재삽입된 일부가 아니기에, 각각의 경우 재삽입된 일부를 명명하거나 그것을 직접 연결로 가리키는 것이 필요해질 것이다.

   후자가 더 거추장스럽지 않다. 그래서, 우리는 E1의 표현을 

로 다시 쓸 수 있고, 하여,  이것을 모호성없이 좀 더 큰 표현 안에 위치시킬 수 있다.

   이러한 종류의 간단한 전복된 표현에서, 문자 아닌 부분들 가운데 어떤 것도, 엄격히 말해, 가로지르기 아닌 것들은 없다. 왜냐하면, 그것들은 어떤 의미에서 같은 경계를 나타내고 있기 때문이다. 그럼에도, 그것들을 따로따로 언급하는 것이 편리하며, 이를 위해 우리는 표현의 각각의 비문자 부분을 표지라 부른다. 따라서, 가로지르기는 표지이지만, 표지가 가로지르기일 필요는 없다.

변조 함수

   이차 함수는 진동하거나 억기할 수 있다는 것을 보았습니다. 차수 2인 방정식을 적을 준비가 되었다면, 우리는 억기할 뿐만 아니라 세기도 하는 함수를 발견할 수 있다.

   세는 것을 그리는 방식은 그것을 억기하는 것의 반대로 고려하는 것이다. 기억 함수는 같은 신호들에 같은 반응을 억기한다: 세는 함수는 그것을 각각 다른 시간에 센다.

   세는 것을 그리는 또 다른 방식은 파 구조를 변조하는 것이다. 이것이 우리가 여기서 그릴려고 하는 것이다.

   가장 간단한 변조는 최초 주파수의 절반에 대한 파 구조로 변조다. 오로지 실수 값만을 쓰는 함수로 이것을 얻을려면, 8개의 표지들이 필요하다. 따라서,

   a의 파 구조가   일 경우, 그때 f 의 파 구조는, 표현이 a 가 진동을 시작하기 전 최초에 어떻게 설정되는가에 따라, 또는 일 것이다.

   이제, 우리는 분명 삼차원으로 재현되는 것을 이차원에 쓰려고 함으로써 곤란에 처한다. 우리는 삼차원으로 적어야 한다. 우리는 최소한 삼차원 재현들을 이차원에 그리는 더 나은 시스템을 고안할 수 있다.    

   한 번의 수직적 움직임(stroke)을 재현하는 표지는 다음과 같다고 하자. 

   그 표지 아래 보이는 바와 같이 연결 선들로 보이는 것들을 도입선(lead)들이라 부르자.

   표지로 지시된 값은 표지에서 도입선에 따라 나온다고 하자: 표현에서 도입선은 다른 표지들 아래로 진입하는 데 갈라질 수 있다. 이제, 예를 들어, 표현 

 은 다음과 같이 재현될 수 있다. 

   이러한 방식으로 바꾸면, E4는 다음 형식으로 나타난다.    

 이 형식에서, a 의 파 구조가 어떻게 분해되고 재결합하여 f 의 파 구조를 부여하고 있는가를 추적하는 것은 더 쉬운 일이다. 

   p에서 파 구조는 이동된 위상을 갖는 비슷한 변조로 주어지고 있음을 본다. 몇몇 파 구조들의 허수 성분들을 써서, 단지 여섯 표지들만을 지닌 p에서 파 구조를 얻는 것이 가능하다. 이는 다음 방정식에서 도해된다.

여기서, i 에서 실수 파 구조는 r 에서 실수 파 구조와 동일하지만, i  에서 허수 성분은 표지들 c 와 d 에서 기억들이 적절이 자리잡는 것을 보증합니다. 비슷한 고찰들이 표현에서 그밖에 기억들에 적용된다.    

종결(Coda)

   이 지점에서, 이제껏 했던 바들을 잊어 버리기 전에 다시 돌아가 우리가 고찰했던 것을 숙고할 수 있다. 

   우리는 처음부터 (p 3에서 명령된) 단 하나의 구성 형식, 특히 최초 구별을 숙고하고 있으며 해왔습니다. 우리 고찰들에 대한 전체 설명은, 우리가 자신한테 부과했던 마음의 다양한 상태들에 입각해서 그것이 어떻게 나타날 수 있는가에 대한 설명입니다.

   확장 참조 규정(p 10)에 따라, 우리는 설명이 끝없이 계속될 수 있음을 알고 있다.

   이 책은 끝이 없을 수 없기에, 그래서 우리는 그것을 어디선가 끊어야 한다. 우리는 이제 다음과 같은 단어들로 그렇게 한다:

                                       등등.

   벗어나기 전, 우리는 되돌아가 설명이 개시되었던 동의에 마지막으로 주목한다.