형식의 법칙들: 1979년판 서문
1979년 판, 서문
형식의 법칙들이 1969년 4월 17일 처음 출판된 지 10년이 지났습니다. 그 계속된 성공은 페이퍼백 판본의 추가로 이어졌습니다.
독자들의 용서를 바라며 내 반복 강조하는 점은, 이 책을 응용함으로써 논리학이나 철학 모두 이득을 얻을 수는 있겠지만, 이 책이 논리학 텍스트도 철학 텍스트도 아닌 수학 텍스트라는 것입니다. Russel이 이 책을 승인했을 때는 자신의 논리주의 입장을 이미 단념한 후며, 그렇지 않았다면 승인하지도 않았을 것입니다.
여기서, 논리학은 토대를 제공하는 혹은 기본 분과가 아니며 그런 적도 없었음은 누가 보아도 명백합니다. 논리학은 문법, 수사학과 함께 중세 대학의 트리비움(trivium)의 세번째 기둥이었고, 더 엄정한 분과들인 기하, 천문, 음악과 함께 콰드리비움(quadrivium)을 형성하고 있었던 산술보다 더 열등한 분과들에 속하는 것이 옳다고 여겼습니다.
이 텍스트에서 우리가 숙고하는 산술은 그 기하학이 아직은 수치 측도를 갖지 않는 것입니다: 그것이 논리학의 명제들로, 게다가 더 넓게 그리고 더 강력한 응용력을 갖는 명제들로 여겨질 수 있음에서 오는 놀라움은 전적으로 그렇게 구성된 연산들에서 끌어낼 수 있다는 바에서 결과된 것입니다.
지금껏 가장 두드러진 성공이자, 여기서 최초로 제시된 이러한 연산이 갖는 능력 범위는 최근 4색 지도 정리의 증명에 응용된 것이었습니다. 4색으로 칠해질 수 있는 지도는, 지시자들에 대한 2차 연산의 산술에서 2개의 일차 기호들을 써서 표현될 수 있습니다. 일반적으로, n개의 일차 기호들은 영역에 대해서는 구분지을 수 있는 2n개의 기호-붙이기들, 그리고 경계에 대해서는 2n - 1개의 기호들을 허용할 것입니다.
D J Spencer-Brown이 일차 대수의 적절한 변형판을 채택해서 1961년 4색 평면 지도에 대한 유효한 앨고리듬을 산출한 이후, 4색 추측이 참이라는 것은 의심의 여지가 없었습니다. 1976년 그가 요절한 후, 나는 그의 수학 논문들 속에서 그 앨고리듬을 찾을 수 없었습니다. 그래서 나는 약간의 어려움을 겪었지만, 4색 추측의 바탕이었던 산술 조작들을 재구성할 수 있었으며, 그 결과 예기치 않게 판명된 최초의 증명을 완성할 수
있었습니다.
그 과제에 착수했던 결정적 동기는, 같은 해 Appel, Haken, 그리고 Koch가 더 오래된 테크닉들을 사용해서 그 추측을 증명함으로써 아주 널리 알려진 주장에서 생겨났습니다. 한 동안, 그들이 성공했으리라 생각되었지만, 그들 출판물이 상세히 검토되자 그들이 결정적으로 중요한 명제를 확립하는 데는 실패한 것으로 드러났습니다. 그들이 사용한 방법은 사실 100년 전 그 문제에 대한 유명한 시도였던 Kempe의 방법에 바탕한
것이었고, 현대의 정제된 방식들이 동원된다해도 그것이 적합한 것으로 될 수는 없을 것 같습니다. 어떤 방법이 심각한 얽힘들을 야기시킬 경우, 그 방법이 그러한 것인 한 역사는 그것이 적절하지 않은 것임을 우리한테 가르치고 있습니다.
적절한 방법은 말할 것도 없이 이미 여기에(xxv, 99, 100 쪽을 보라) 공표되어 있습니다. 요약하면, 4색 문제의 해법은 이전에도 가능한 것이었으며, 이 책에 최초로 상술된 수학적 개념들만을 써서 가능해지자 요청되었습니다. 그렇다고, 그 방법이 세상에 주어져 있었고 그래서 결국 내가 그것을 그 문제에 응용할 수 있게 되었다고 생각하지는 않았습니다.
G Spencer-Brown
Cambridge England
and San Francisco
August 1978
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